La fonction en escalier : une valeur fixe par tranche de X

Une droite impose une seule pente à tout le domaine, et une courbe polynomiale un seul dessin à tout l’axe. Et si, au lieu de chercher la bonne forme pour l’ensemble, tu laissais chaque tranche de X avoir sa propre réponse, aussi simple soit-elle ? C’est la fonction en escalier. Tu sauras à la fin la lire, comprendre ce qu’elle t’évite d’imposer et reconnaître ses deux défauts.

Sommaire

L’essentiel en 30 secondes

  • Une fonction en escalier prédit une constante par tranche de X, différente d’une tranche à l’autre.
  • Les tranches sont délimitées par des points de coupure que tu choisis toi-même.
  • Elle évite d’imposer une structure globale rigide à toute la courbe.
  • Elle coûte un saut à chaque coupure, et son allure dépend de deux décisions souvent arbitraires : combien de coupures, et où.
  • Un arbre de régression reprend l’idée, mais il calcule lui-même les coupures à partir des données.

Une constante différente sur chaque tranche

Une fonction en escalier (step function en anglais) se construit en deux gestes. D’abord, tu découpes le domaine de X en intervalles à l’aide de points de coupure. Ensuite, tu ajustes sur chaque intervalle une constante, différente d’un intervalle à l’autre.

Deux ajustements d'un même nuage de points : à gauche une courbe polynomiale de degré 4, à droite une suite de segments horizontaux, un par intervalle de X

Regarde le panneau de droite, celui des segments horizontaux. Chaque segment correspond à une tranche de X et sa hauteur est la prédiction pour toutes les valeurs de cette tranche : deux points d’une même tranche reçoivent la même réponse, même s’ils sont éloignés l’un de l’autre. Pour prédire, tu repères la tranche où tombe ta valeur de X et tu lis la hauteur de la marche.

💡 Intuition Un tarif par tranche d’âge fonctionne ainsi : tout le monde dans la même tranche paie pareil, et le prix saute d’un coup à la frontière suivante.

Ce que l’escalier évite d’imposer

Avec un seul prédicteur, la droite s’écrit f_a(x) = a_0 + a_1 x : une ordonnée à l’origine a_0, une pente a_1, et ces deux nombres valent pour tout le domaine. La fonction en escalier reste une extension simple du modèle linéaire, mais elle renonce à cette forme unique : aucune structure globale rigide n’est imposée, et rien ne relie une marche à la suivante.

C’est utile quand la relation entre la réponse et le prédicteur est manifestement non linéaire et que tu ne veux pas deviner sa forme d’ensemble. L’escalier se contente d’une hypothèse locale très modeste : sur une tranche donnée, la réponse ne bouge pas.

Deux prix à payer : le saut et le choix des coupures

Un saut à chaque coupure. Les marches ne sont pas raccordées : la courbe fait un bond à chaque point de coupure. Une valeur de X juste avant la frontière et une valeur juste après peuvent donc recevoir deux prédictions bien différentes.

Deux réglages arbitraires. Tu dois décider combien de marches poser et à quels endroits, et l’ajustement réagit fortement à ces choix, qui n’ont souvent rien d’évident. Avant de faire confiance à un escalier, demande-toi donc deux choses : pourquoi ce nombre de coupures, et pourquoi ces emplacements ?

⚠️ Piège Un escalier ne te dit pas où se trouvent les vraies frontières de ta variable : ce sont tes coupures qui les fabriquent.

Même idée, coupures calculées : l’arbre de régression

Les arbres de décision reprennent le principe de la constante par région, avec une différence de taille. Ils segmentent l’espace des prédicteurs en régions rectangulaires simples et, pour toute observation qui tombe dans une région, prédisent une valeur constante : la moyenne de la réponse des observations d’entraînement de cette région.

Un arbre de décision à gauche, la partition de l'espace en trois régions rectangulaires R1, R2 et R3 à droite
Suis un chemin de l’arbre, de la racine jusqu’à une feuille : chaque test sur un prédicteur (ancienneté inférieure à 4,5, par exemple) resserre la région, et la feuille atteinte donne la prédiction constante de la région R1, R2 ou R3.

Là où tu choisis tes coupures à la main, l’arbre les trouve : à chaque étape, il retient le prédicteur X_j et le point de coupure s qui, en divisant la région courante en \{X_j < s\} et \{X_j \geq s\}, réduisent le plus la somme des carrés des résidus (RSS). La procédure est dite gloutonne, car elle ne revient jamais sur une division déjà faite.

📌 À retenir Une fonction en escalier, c’est une valeur fixe par tranche, sans lien entre les marches. Tu gagnes en simplicité ; tu paies en sauts et en coupures à justifier.