Variance non constante : quand le bruit change de taille

Tu as tracé une droite à travers un nuage de points. À gauche du graphique, les points restent collés à elle ; à droite, ils s’écartent de plus en plus, comme les branches d’un éventail. La droite n’a rien d’absurde, et pourtant le nuage viole une règle que la régression tient pour acquise : la taille du bruit devrait être la même partout. Ce phénomène porte un nom, la variance non constante, et tu vas apprendre à le nommer, à le repérer et à savoir quoi tenter ensuite.

Sommaire

L’essentiel en 30 secondes

  • La variance non constante, ou hétéroscédasticité, désigne des erreurs dont l’amplitude change d’un point à l’autre au lieu de rester la même.
  • Le modèle de régression suppose au contraire un bruit d’écart-type constant, quelle que soit la valeur de x.
  • On la repère sur le graphique des résidus : une forme d’entonnoir, où l’amplitude des résidus croît avec la valeur ajustée.
  • C’est l’un des six problèmes à diagnostiquer systématiquement, à ne pas confondre avec la non-linéarité ou un point aberrant.
  • Une transformation concave de la réponse, comme le logarithme, tend à la corriger.

Un bruit censé garder la même amplitude

Quand tu ajustes une droite, personne ne s’attend à ce que les points tombent dessus. On écrit plutôt que chaque réponse est la droite, plus une erreur aléatoire \epsilon :

    \[ Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \dots + \beta_p X_p + \epsilon.\]

Ici Y est la réponse, les X_j sont les prédicteurs, les \beta_j sont les coefficients (on les trouve aussi notés a_j), et \epsilon regroupe tout ce que la droite n’explique pas.

Parmi les hypothèses faites sur ce bruit, une seule nous intéresse ici : son amplitude, c’est-à-dire son écart-type, reste constante, la même partout le long de l’axe des x. Rappelle-toi ce que mesure une variance : la dispersion de valeurs autour de leur moyenne. Ici, ce sont les erreurs qui se dispersent autour de la droite. Variance constante : la dispersion est identique à gauche et à droite du graphique. Variance non constante : elle varie.

Imagine que tu prédises des montants. Les petits se devinent à quelques unités près, les gros à plusieurs centaines. L’écart entre l’observation et la droite n’a plus la même taille d’un bout à l’autre du nuage, ce qui contredit directement l’hypothèse de départ.

💡 Intuition Une variance constante, c’est un ruban de largeur fixe posé autour de la droite. Une variance non constante, c’est un ruban qui s’évase : étroit d’un côté, large de l’autre.

Repérer l’entonnoir sur le graphique des résidus

Un résidu est l’écart entre une valeur observée et la valeur que le modèle estime pour elle. Pour contrôler un modèle, on place les résidus en ordonnée et les valeurs ajustées, celles que la droite prédit, en abscisse. Un nuage sans motif particulier est bon signe ; un motif net signale que le modèle laisse échapper quelque chose.

Deux graphiques de résidus en fonction des valeurs ajustées : à gauche, un motif en U souligné par une courbe de tendance orange ; à droite, un nuage dispersé sans aucun motif apparent
Prends le panneau de droite comme référence : le nuage n’a aucune forme particulière. L’entonnoir est une autre silhouette que ce même graphique permet de reconnaître, celle d’un nuage qui s’élargit de gauche à droite : plus la valeur ajustée grandit, plus les résidus s’éloignent de l’axe horizontal.

Le panneau de gauche montre une autre anomalie, le U. Un nuage qui s’évase et un nuage qui se courbe racontent deux histoires différentes, d’où l’intérêt de regarder la forme avant de réagir.

Pourquoi on tient à la détecter : un seul nombre pour tout le bruit

Pour savoir si une pente existe vraiment, on calcule un intervalle de confiance et une p-valeur. Ces calculs s’appuient sur la distribution des coefficients estimés, dont la dispersion fait intervenir \sigma^2, la variance du bruit : un seul nombre, estimé une fois pour tout le jeu de données.

💡 Intuition Si le bruit est discret à gauche et bruyant à droite, un nombre unique n’est qu’une moyenne entre deux réalités. Il ne décrit exactement aucune des deux zones.

Ce qui est sûr, c’est que ces outils reposent sur des hypothèses concernant les erreurs, et que leur chute a des effets visibles. Prends le cas voisin d’erreurs corrélées entre elles : les erreurs types calculées sous-estiment alors systématiquement l’incertitude réelle, d’où des intervalles de confiance trop étroits et des p-valeurs artificiellement faibles, soit une confiance illusoire dans les résultats. Contrôler les hypothèses avant de lire ces chiffres n’est donc pas un luxe.

Ne pas la confondre avec ses cousines

Le diagnostic d’un modèle linéaire passe par six familles de problèmes : la non-linéarité, la corrélation des erreurs, la variance non constante, les points aberrants, les points à fort effet de levier et la colinéarité. Le tableau ci-dessous aide à distinguer celles que le graphique des résidus ou le nuage de points laissent voir.

Ce que tu observes Le problème Ce que ça indique
Une courbe en U dans les résidus Non-linéarité Le modèle ne capture pas la forme de la relation
Des résidus qui s’évasent avec la valeur ajustée Variance non constante L’amplitude de l’erreur n’est pas la même partout
Une observation dont la réponse est loin de la prédiction Point aberrant Un cas isolé, pas un motif d’ensemble
Une observation à valeur de prédicteur inhabituelle Fort effet de levier Un point qui peut déplacer la droite
Deux nuages de points avec droite de régression : à gauche, un point aberrant au centre des valeurs de X modifie peu la droite ; à droite, un point à fort levier en périphérie la déplace nettement
Regarde de quel côté se trouve le point suspect. Au milieu du nuage, il laisse la droite quasi inchangée ; en bordure, il la tire vers lui. Dans les deux cas il s’agit d’un point isolé, alors que la variance non constante est une propriété de l’ensemble des résidus : un seul point loin de la droite ne suffit pas à la diagnostiquer.

Une autre confusion guette : croire que tout motif dans le graphique des résidus signifie « relation courbe ». Le U disparaît généralement quand on ajoute un terme quadratique ; l’entonnoir, lui, se traite autrement.

Corriger : transformer la réponse

Le remède mentionné pour la variance non constante est une transformation concave de la réponse, comme \log Y : au lieu d’expliquer Y, tu expliques son logarithme. Cette transformation tend à corriger le problème.

⚠️ Piège Le verbe compte : « tend à » ne veut pas dire « garantit ». Après avoir changé la réponse, retrace le graphique des résidus : c’est lui, et non l’espoir, qui te dit si l’entonnoir s’est refermé.

📌 À retenir Une variance non constante, c’est un bruit qui change de taille le long du nuage : tu la lis comme un entonnoir dans le graphique des résidus, tu la distingues du U et du point isolé, et tu tentes d’abord une transformation concave de la réponse, comme le logarithme.