<\/span>Trois quantit\u00e9s seulement y figurent :
Une covariance entre deux variables
<\/span> <\/span>Son signe indique si les deux variables \u00e9voluent de concert<\/strong> ou \u00e0 contresens. Il reste \u00e0 ranger nos trois nombres. On les dispose dans un tableau carr\u00e9, ligne et colonne \u00e9tiquet\u00e9es X puis Y :<\/p>\n
<\/span> <\/span>C’est la matrice de covariance de nos deux placements : on y rassemble toutes les covariances, y compris celle de chaque variable avec elle-m\u00eame.<\/p>\n
Lire la matrice case par case<\/h2>\n Chaque case r\u00e9pond \u00e0 une question pr\u00e9cise. Garde notre
\nCase (X, X) = 1<\/strong> : la covariance de X avec lui-m\u00eame, qui n’est autre que sa variance.<\/li>\nCase (Y, Y) = 1,25 : la variance de Y, donc la dispersion de ses valeurs autour de sa moyenne.<\/li>\n Cases (X, Y) et (Y, X) = 0,5 : la covariance des deux placements. Positive, elle indique des rendements qui montent et descendent plut\u00f4t ensemble.<\/li>\n<\/ul>\nLes deux cases hors diagonale sont \u00e9gales. Ce n’est pas un hasard : une matrice \u00e9gale \u00e0 sa propre transpos\u00e9e est dite sym\u00e9trique, et toute matrice de covariance l’est. Avec
Une covariance de 0,5 est-elle forte ou faible ? Le nombre seul ne le dit pas. Pour le savoir, on divise par les \u00e9carts-types, ce qui donne le coefficient de corr\u00e9lation de Pearson, coinc\u00e9 entre \u22121 et 1 quelles que soient les variables.<\/p>\n
<\/span> <\/span>Ici,
\n\ud83d\udca1 Intuition<\/strong> Lis la diagonale comme \u00ab chacun pour soi \u00bb et le reste comme \u00ab chacun avec chacun \u00bb. Une matrice ne contient donc rien d’autre que les variances et les covariances de toutes les paires, rang\u00e9es une fois pour toutes.<\/p>\n<\/blockquote>\nLa m\u00eame matrice en quelques lignes de Python<\/h2>\n Imagine que tu disposes d’un tableau Portfolio<\/code> de 100 paires de rendements, colonnes X<\/code> et Y<\/code>, et que tu veux en tirer la fraction \u03b1 sans recopier de formule \u00e0 la main. Le bloc suivant est une session interactive : chaque ligne In [n]:<\/code> est une commande saisie, le nombre n<\/code> compte les saisies de la session.<\/p>\nIn [15]: Portfolio = load_data('Portfolio')\n\nIn [16]: def alpha_func(D, idx):\n cov_ = np.cov(D[['X','Y']].loc[idx], rowvar=False)\n return ((cov_[1,1] - cov_[0,1]) \/\n (cov_[0,0]+cov_[1,1]-2*cov_[0,1]))\n<\/code><\/pre>\nnp.cov<\/code> re\u00e7oit les deux colonnes X<\/code> et Y<\/code> et renvoie la matrice, que le code lit par positions. cov_[0,0]<\/code> et cov_[1,1]<\/code> sont les cases de la diagonale, donc les variances de X et de Y ; cov_[0,1]<\/code> est la covariance. Remplace-les dans la formule de \u03b1 de la section pr\u00e9c\u00e9dente : c’est exactement le m\u00eame calcul. L’argument idx<\/code> d\u00e9signe les lignes \u00e0 garder : on peut ainsi recalculer \u03b1 sur un sous-ensemble tir\u00e9 au hasard.<\/p>\nSur 100 paires, la matrice estim\u00e9e n’est pas exacte. Avec des param\u00e8tres connus (un \u00e9cart-type d’environ 0,083<\/strong> : d’un \u00e9chantillon \u00e0 l’autre, la fraction trouv\u00e9e bouge de quelques centi\u00e8mes.<\/p>\nCe que la matrice calcule : la variance d’un m\u00e9lange<\/h2>\n Voici son vrai talent. Soit
<\/span> <\/span>Applique-le \u00e0 nos placements, avec 0,6 reste la fraction optimale<\/strong>, et la matrice a suffi pour le v\u00e9rifier.<\/p>\nCette m\u00eame quantit\u00e9 sert aussi en ACP : on cherche la direction
Une loi normale \u00e0 une variable se d\u00e9crit par une moyenne et une variance. Avec plusieurs variables, la variance devient une matrice de covariance suit encore une loi normale<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n\t\t\t\n\t\t\t\tRegarde l’inclinaison des ellipses : elles s’allongent le long de la diagonale ascendante, la direction dans laquelle X1 et X2 montent ensemble. Une covariance positive tire le nuage dans ce sens, et le nuage orange \u00e9pouse cette forme.<\/figcaption><\/figure>\n\n\nUne matrice par classe, ou une seule pour toutes<\/h2>\n La matrice de covariance joue aussi un r\u00f4le de juge en classification. L’analyse discriminante lin\u00e9aire (LDA) mod\u00e9lise chaque classe par une loi normale \u00e0 moyenne propre, mais impose une matrice de covariance commune<\/strong> \u00e0 toutes les classes. L’analyse discriminante quadratique (QDA) assouplit cette r\u00e8gle : chaque classe a sa propre matrice.<\/p>\n\n\n\n\t\t\t\n\t\t\t\tCompare les deux panneaux, qui montrent les m\u00eames points : la matrice commune de LDA ne permet qu’une droite pour s\u00e9parer les classes, alors que les matrices distinctes de QDA autorisent une courbe.<\/figcaption><\/figure>\n\n\nLe choix se joue sur un compromis. QDA est plus flexible mais doit estimer davantage de param\u00e8tres : elle se justifie si les classes n’ont vraisemblablement pas la m\u00eame covariance, ou si l’\u00e9chantillon est assez grand pour estimer ces param\u00e8tres en plus. Avec peu de donn\u00e9es<\/strong>, LDA reste pr\u00e9f\u00e9rable.<\/p>\nCe que les biblioth\u00e8ques font de la matrice<\/h2>\n Dans la pratique, on forme rarement la matrice pour la d\u00e9composer ensuite. Les composantes d’une ACP sont ses vecteurs propres, mais les biblioth\u00e8ques pr\u00e9f\u00e8rent souvent passer par la d\u00e9composition en valeurs singuli\u00e8res des donn\u00e9es centr\u00e9es, pour des raisons de stabilit\u00e9 num\u00e9rique<\/strong>.<\/p>\nLes deux chemins m\u00e8nent au m\u00eame r\u00e9sultat, car les valeurs singuli\u00e8res
<\/span> <\/span>o\u00f9
Trois fa\u00e7ons de mal la lire<\/h2>\n Une ligne dupliqu\u00e9e la change.<\/strong> R\u00e9p\u00e9ter artificiellement un m\u00eame point dans les donn\u00e9es modifie la matrice de covariance. Une comparaison entre un jeu et sa version o\u00f9 un point est dupliqu\u00e9 trois fois le montre : les valeurs et vecteurs propres restent proches, mais ne co\u00efncident plus exactement.<\/p>\nElle ne voit que le lin\u00e9aire.<\/strong> La covariance mesure la d\u00e9pendance lin\u00e9aire entre deux variables. Une covariance nulle n’implique donc pas l’ind\u00e9pendance.<\/p>\nLes unit\u00e9s p\u00e8sent.<\/strong> Une variable exprim\u00e9e dans une unit\u00e9 qui donne de grands nombres domine le calcul des variances. Pour l’\u00e9viter, on normalise chaque variable<\/strong> \u00e0 variance 1, quitte \u00e0 obtenir des directions principales sensiblement diff\u00e9rentes.<\/p>\n\n\ud83d\udccc \u00c0 retenir<\/strong> Devant une matrice Variances sur la diagonale, covariances ailleurs : d\u00e9couvre ce que contient une matrice de covariance, comment la lire et \u00e0 quoi elle sert vraiment.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":624,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[9],"tags":[],"class_list":["post-639","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-maths"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.ranksignal.fr\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/639","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.ranksignal.fr\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.ranksignal.fr\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ranksignal.fr\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ranksignal.fr\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=639"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/www.ranksignal.fr\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/639\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":805,"href":"https:\/\/www.ranksignal.fr\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/639\/revisions\/805"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ranksignal.fr\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media\/624"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.ranksignal.fr\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=639"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ranksignal.fr\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=639"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ranksignal.fr\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=639"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
![\"\text{Var}(\alpha X + (1-\alpha) Y)\"](\"https:\/\/www.ranksignal.fr\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3f3298d3897e7861c10d1bd80a4575b7_l3.png\" "\\"Rendered")
le plus petit possible. La r\u00e9ponse s’\u00e9crit :<\/p>\n![\"\[](\"https:\/\/www.ranksignal.fr\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-dd9cd654513507a5b411cceebe225f92_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n![\"\sigma_X^2\"](\"https:\/\/www.ranksignal.fr\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-9b5d33d8fdbe5b6da9c8342d333c380b_l3.png\" "\\"Rendered")
et ![\"\sigma_Y^2\"](\"https:\/\/www.ranksignal.fr\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a0b2f7a923aa676be168e6376755b859_l3.png\" "\\"Rendered")
sont les variances de X et de Y, et ![\"\sigma_{XY}\"](\"https:\/\/www.ranksignal.fr\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-20a023176d386a69eef2d41d9668f130_l3.png\" "\\"Rendered")
leur covariance. Prends des valeurs : ![\"\sigma_X^2 = 1\"](\"https:\/\/www.ranksignal.fr\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f4fefadf80b639a82fe589c7a8bcec84_l3.png\" "\\"Rendered")
, ![\"\sigma_Y^2 = 1{,}25\"](\"https:\/\/www.ranksignal.fr\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a9e8f77b383f647cb2d4fc85198ed143_l3.png\" "\\"Rendered")
et ![\"\sigma_{XY} = 0{,}5\"](\"https:\/\/www.ranksignal.fr\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6592ebb4217d92b21c2cb80c1885d4a6_l3.png\" "\\"Rendered")
. Le calcul donne ![\"(1{,}25 - 0{,}5)/(1 + 1{,}25 - 1) = 0{,}6\"](\"https:\/\/www.ranksignal.fr\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-07b69c9e6c564d9e899346c633c9afad_l3.png\" "\\"Rendered")
: 60 % dans X, 40 % dans Y.<\/p>\n![\"x_h\"](\"https:\/\/www.ranksignal.fr\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4fb6b686ffd6dd2f2db81a3301cf015d_l3.png\" "\\"Rendered")
et ![\"x_k\"](\"https:\/\/www.ranksignal.fr\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-aafd54193f5a828ac3fc8300bbec5019_l3.png\" "\\"Rendered")
, mesur\u00e9es sur ![\"n\"](\"https:\/\/www.ranksignal.fr\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b170995d512c659d8668b4e42e1fef6b_l3.png\" "\\"Rendered")
observations, est la moyenne (corrig\u00e9e par ![\"n-1\"](\"https:\/\/www.ranksignal.fr\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f30b71e7fcec69d119f30f67cf09c975_l3.png\" "\\"Rendered")
) des produits de leurs \u00e9carts \u00e0 la moyenne :<\/p>\n![\"\[](\"https:\/\/www.ranksignal.fr\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3758630b1d65d7aafe0de02884ab7a87_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n![\"\[](\"https:\/\/www.ranksignal.fr\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b8a15db8e2132525e2856bcec503f9ad_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n![\"\Sigma\"](\"https:\/\/www.ranksignal.fr\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-14fb1e14301ad034b94e3db3ff52c0c9_l3.png\" "\\"Rendered")
sous les yeux.<\/p>\n![\"d\"](\"https:\/\/www.ranksignal.fr\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4e8716946f6a868f015e0d62f28bc540_l3.png\" "\\"Rendered")
variables, le tableau compte ![\"\[](\"https:\/\/www.ranksignal.fr\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-67bf92d0b2224451d4206138d3ab162e_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n![\"r = 0{,}5 / \sqrt{1 \times 1{,}25} \approx 0{,}45\"](\"https:\/\/www.ranksignal.fr\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-38bed357bda0b65790c3e2cad85db647_l3.png\" "\\"Rendered")
: un lien positif et mod\u00e9r\u00e9.<\/p>\n![\"X\"](\"https:\/\/www.ranksignal.fr\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d4ee28752517d6062a3ca0314890342d_l3.png\" "\\"Rendered")
un tableau de donn\u00e9es \u00e0 ![\"u\"](\"https:\/\/www.ranksignal.fr\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-43fe27dc3e528266a619764d90fce60b_l3.png\" "\\"Rendered")
une liste de ![\"Xu\"](\"https:\/\/www.ranksignal.fr\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5c40619b043b3065cbace70361c72eea_l3.png\" "\\"Rendered")
, a pour variance :<\/p>\n![\"\[](\"https:\/\/www.ranksignal.fr\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-7515ce29d77a75a35f297bd043bd5db1_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p><\/p>\n![\"u = (\alpha, 1-\alpha)\"](\"https:\/\/www.ranksignal.fr\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-31058d09391a9d0b4eb7625031ed7181_l3.png\" "\\"Rendered")
. Pour ![\"\alpha = 0{,}6\"](\"https:\/\/www.ranksignal.fr\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-363be86f68c61f826136176b07c2f12b_l3.png\" "\\"Rendered")
, on trouve ![\"0{,}36 \times 1 + 2 \times 0{,}6 \times 0{,}4 \times 0{,}5 + 0{,}16 \times 1{,}25 = 0{,}8\"](\"https:\/\/www.ranksignal.fr\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5b801806ff107dd4f64165630d4c1a94_l3.png\" "\\"Rendered")
. Une r\u00e9partition moiti\u00e9-moiti\u00e9 donne 0,8125, tout dans X donne 1, tout dans Y donne 1,25. 0,6 reste la fraction optimale<\/strong>, et la matrice a suffi pour le v\u00e9rifier.<\/p>\n![\"Nuage](\"https:\/\/www.ranksignal.fr\/wp-content\/uploads\/2026\/10\/b1_ch11_normale_bivariee.png\")