d\u00e9crit une seule variable<\/strong> ; avec plusieurs variables, on additionne une courbe par variable.<\/li>\n<\/ul>\nDeux r\u00e9flexes existent pour courber une droite. Le premier impose une seule forme polynomiale sur tout l’axe ; le second d\u00e9coupe l’axe et pose une constante par tranche. Les deux ont le m\u00eame d\u00e9faut : une seule forme impos\u00e9e<\/strong> \u00e0 tout le domaine, globale pour l’un, plate par morceaux pour l’autre.<\/p>\n\n\n\n\t\t\t\n\t\t\t\tRegarde les deux panneaux sur le m\u00eame nuage : la courbe de gauche est lisse mais d’un seul tenant, les paliers de droite s’adaptent localement mais cassent la continuit\u00e9 entre deux tranches. La spline garde le d\u00e9coupage des paliers et la douceur de la courbe : c’est un compromis entre les deux.<\/figcaption><\/figure>\n\n\nAnatomie d’une spline : n\u0153uds, morceaux, raccords<\/h2>\n Une spline de r\u00e9gression se construit en trois gestes. On d\u00e9coupe le domaine en intervalles s\u00e9par\u00e9s par des n\u0153uds (knots en anglais). On ajuste sur chaque intervalle un polyn\u00f4me de bas degr\u00e9, le plus souvent cubique. Et \u00e0 chaque n\u0153ud, on impose des contraintes de raccordement<\/strong> : la courbe finale reste continue, et m\u00eame d\u00e9rivable deux fois de suite, c’est-\u00e0-dire sans coude ni brisure visible \u00e0 l’\u0153il nu.<\/p>\n\n\n\n\t\t\t\n\t\t\t\tSur l’illustration, les deux pointill\u00e9s sont les n\u0153uds et la courbe orange change de morceau en chacun d’eux. Observe le second : la courbe y chute brusquement. C’est exactement le genre de rupture que les contraintes de raccordement servent \u00e0 interdire, et c’est ce qui s\u00e9pare une vraie spline lisse d’un simple collage de segments.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n\ud83d\udca1 Intuition<\/strong> Chaque n\u0153ud est une couture : tu es libre de changer de forme de part et d’autre, mais pas de laisser la couture se voir.<\/p>\n<\/blockquote>\nCette libert\u00e9 se paie en param\u00e8tres. Une spline cubique \u00e0 quatre pour le polyn\u00f4me cubique de base<\/strong>, plus un par n\u0153ud. Chaque n\u0153ud \u00ab consomme \u00bb donc un degr\u00e9 de libert\u00e9 en \u00e9change de la contrainte de raccordement qu’il impose.<\/p>\nIl existe une variante, la spline cubique naturelle<\/strong>, qui reste lin\u00e9aire au-del\u00e0 des n\u0153uds extr\u00eames.<\/p>\nO\u00f9 poser les n\u0153uds ?<\/h2>\n Reste une vraie question de r\u00e9glage : combien de n\u0153uds, et o\u00f9 ? En pratique, on les place souvent \u00e0 intervalles r\u00e9guliers en quantiles des donn\u00e9es<\/strong>, avec plus de n\u0153uds l\u00e0 o\u00f9 les observations sont denses.<\/p>\nPour le nombre, on essaie plusieurs valeurs du nombre de degr\u00e9s de libert\u00e9 par validation crois\u00e9e et l’on garde celle qui minimise l’erreur de test estim\u00e9e. Sur les donn\u00e9es de salaires Wage, une spline naturelle \u00e0 trois ou quatre degr\u00e9s de libert\u00e9<\/strong> suffit d\u00e9j\u00e0 \u00e0 capturer l’essentiel de la relation entre \u00e2ge et salaire : au-del\u00e0, la courbe change tr\u00e8s peu.<\/p>\nLe gain est net face \u00e0 un polyn\u00f4me de degr\u00e9 \u00e9quivalent : en laissant la souplesse varier n\u0153ud par n\u0153ud<\/strong>, la spline \u00e9vite les oscillations erratiques qu’un polyn\u00f4me de haut degr\u00e9 d\u00e9veloppe presque in\u00e9vitablement pr\u00e8s des bords.<\/p>\nLa spline de lissage : un seul r\u00e9glage au lieu des n\u0153uds<\/h2>\n Choisir le nombre et l’emplacement des n\u0153uds, c’est deux d\u00e9cisions. La spline de lissage les remplace par une seule : on cherche la fonction
<\/span> <\/span>Lis la formule en deux moiti\u00e9s. La somme mesure l’\u00e9cart entre la courbe courbure totale<\/strong> de Pousse le curseur aux deux bouts. \u00c0 \u00e9pouser chaque observation<\/strong> : parfait sur l’entra\u00eenement, mais absurdement irr\u00e9gulier. \u00c0 l’autre bout, avec On montre que la solution est toujours une spline cubique naturelle avec un n\u0153ud \u00e0 chaque valeur observ\u00e9e de degr\u00e9s de libert\u00e9 effectifs<\/strong>, qui varient de fa\u00e7on continue entre \n\t\t\t\n\t\t\t\tLa courbe pleine est celle d’une p\u00e9nalit\u00e9 forte, la pointill\u00e9e d’une p\u00e9nalit\u00e9 faible qui s’agite autour de chaque point. Plus le trait est lisse, plus on se rapproche des 2 degr\u00e9s de libert\u00e9 d’une droite.<\/figcaption><\/figure>\n\n\nUne spline en deux lignes de code<\/h2>\n Voyons-la sur une vraie question : comment mod\u00e9liser le salaire (wage<\/code>) en fonction de l’\u00e2ge (age<\/code>) dans le jeu de donn\u00e9es Wage ? Les lignes In [n]:<\/code> sont les commandes saisies dans une session interactive ; ici MS<\/code> construit la matrice du mod\u00e8le, sm<\/code> d\u00e9signe statsmodels<\/code>, et Wage<\/code> est le jeu de donn\u00e9es d\u00e9j\u00e0 charg\u00e9.<\/p>\nIn [7]: bs_age = MS([bs('age',\n internal_knots=[25,40,60],\n intercept=True)])\n Xbs = bs_age.fit_transform(Wage)\n M = sm.OLS(Wage['wage'], Xbs).fit()\n\nIn [11]: ns_age = MS([ns('age', df=4)])\n Xns = ns_age.fit_transform(Wage)\n M_ns = sm.OLS(Wage['wage'], Xns).fit()\n<\/code><\/pre>\nLa fonction bs()<\/code> construit une base de spline cubique ordinaire<\/strong> \u00e0 partir de n\u0153uds que tu fournis, ici 25, 40 et 60 ans. ns()<\/code> construit directement une spline cubique naturelle : tu donnes seulement le nombre de degr\u00e9s de libert\u00e9 (df=4<\/code>), et la biblioth\u00e8que place elle-m\u00eame les n\u0153uds aux quantiles appropri\u00e9s des donn\u00e9es. Dans les deux cas, le mod\u00e8le est ensuite ajust\u00e9 par une r\u00e9gression lin\u00e9aire<\/a> ordinaire.<\/p>\nCe que la spline ne sait pas faire<\/h2>\n Elle suit une seule variable.<\/strong> Une spline d\u00e9crit la relation entre la r\u00e9ponse et un seul pr\u00e9dicteur. Avec plusieurs variables, on remplace chaque terme lin\u00e9aire par une fonction propre \u00e0 chacune, une spline par exemple : c’est le mod\u00e8le additif.<\/p>\nElle ne devine pas les interactions.<\/strong> Comme chaque courbe ne d\u00e9pend que de sa variable, un tel mod\u00e8le ne capture pas les interactions entre pr\u00e9dicteurs, sauf \u00e0 les ajouter explicitement, ce qui fait perdre une partie de la simplicit\u00e9 d’interpr\u00e9tation.<\/p>\nPlus souple n’est pas mieux.<\/strong> Chaque n\u0153ud ajoute un degr\u00e9 de libert\u00e9, et une p\u00e9nalit\u00e9 \n\ud83d\udccc \u00c0 retenir<\/strong> Une spline, c’est des polyn\u00f4mes recoll\u00e9s aux n\u0153uds. Tu en r\u00e8gles la souplesse par le nombre de n\u0153uds, ou par Une spline raccorde de petits polyn\u00f4mes en des points appel\u00e9s n\u0153uds pour tracer une courbe lisse. Construction, r\u00e9glage et limites, avec le code.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":422,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[9],"tags":[],"class_list":["post-423","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-maths"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.ranksignal.fr\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/423","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.ranksignal.fr\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.ranksignal.fr\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ranksignal.fr\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ranksignal.fr\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=423"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/www.ranksignal.fr\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/423\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":813,"href":"https:\/\/www.ranksignal.fr\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/423\/revisions\/813"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ranksignal.fr\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media\/422"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.ranksignal.fr\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=423"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ranksignal.fr\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=423"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.ranksignal.fr\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=423"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
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